1.导数的正式定义 在 t t t 的位置对函数 f ( x ) f(x) f(x) 求导： d f d x ( t ) = lim ⁡ h → 0 f ( t + h ) − f ( t ) h \frac{df}{dx}(t)=\displaystyle{\lim_{h \to 0}}\frac{f(t+h)-f(t)}{h} dxdf​(t)=h→0lim​hf(t+h)−f(t)​

h h h 其实等价于 d x dx dx ， d x dx dx用来表示函数 f f f取值的具体有限小的变化量。

讨论极限，讨论的是变量逼近于0时的影响，而不是无穷小的变化量的影响。

2.极限的 ( ϵ , δ ) (\epsilon,\delta) (ϵ,δ)定义 函数 f ( h ) = ( 2 + h ) 3 − 2 3 h f(h)=\frac{(2+h)^3-2^3}{h} f(h)=h(2+h)3−23​的图像如下： 对于函数 f ( h ) = ( 2 + h ) 3 − 2 3 h f(h)=\frac{(2+h)^3-2^3}{h} f(h)=h(2+h)3−23​，当h=0的时候，函数值变成 0 0 \frac{0}{0} 00​，在这个点并没有明确的值，我们用一个空心圆来表示这个间断点。但当 h h h无限接近0的时候，函数仍然有意义，函数值逼近于12，而这个结果，和函数从哪一边逼近无关。

逼近的定义：对于x=0附近的一些取值，当取值范围在0附近不断缩小时，函数范围越来越接近12

极限存在：总能在极限点附近，离这一点距离为 δ \delta δ的取值范围内，找到一系列取值点，使得这范围内的任一个取值点，其函数值都在到某个值的距离为 ϵ \epsilon ϵ的范围之内。这种情况，对任意 ϵ \epsilon ϵ都成立。无论 ϵ \epsilon ϵ多么小，总能找到与之对应的 δ \delta δ值。

下图是一个极限不存在的一个例子：找到一个足够小的 ϵ \epsilon ϵ，例如0.04，无论 δ \delta δ多么小，对应的函数值，都不能完全位于两个 ϵ \epsilon ϵ构成的区间内，找不到任何可以逼近的极限值，所以极限不存在。 3.洛必达法则 引例： 如何求 lim ⁡ x → 1 sin ⁡ ( π x ) x 2 − 1 \displaystyle{\lim_{x \to 1}}\frac{\sin(\pi{x})}{x^2-1} x→1lim​x2−1sin(πx)​ ？ 直接把1代入函数，分子和分母都是0，无法直接获得函数逼近 x = 1 x=1 x=1的结果。

下面分别给出分子 sin ⁡ ( π x ) \sin(\pi{x}) sin(πx) 和分母 x 2 − 1 x^2-1 x2−1 的函数图像 当 x = 1 x=1 x=1时，两个函数的值都为 0 0 0，都穿过 x x x轴。考虑微小变化量 d x dx dx对函数的影响。

当 x = 1 x=1 x=1时， sin ⁡ ( π x ) \sin(\pi x) sin(πx)函数值的变化量为 d ( sin ⁡ ( π x ) ) = cos ⁡ ( π x ) π d x = − π d x d(\sin(\pi x))=\cos(\pi x) \pi dx=-\pi dx d(sin(πx))=cos(πx)πdx=−πdx

同理得 d ( x 2 − 1 ) = 2 x d x = 2 d x d(x^2-1)=2xdx=2dx d(x2−1)=2xdx=2dx 则有 lim ⁡ x → 1 sin ⁡ ( π x ) x 2 − 1 = − π d x 2 d x = − π 2 \displaystyle{\lim_{x \to 1}}\frac{\sin(\pi{x})}{x^2-1}=\frac{-\pi dx}{2dx}=\frac{-\pi}{2} x→1lim​x2−1sin(πx)​=2dx−πdx​=2−π​ 所以当 x x x逼近于1时，这个极限的精确值为 − π 2 \frac{-\pi}{2} 2−π​

一般地，考虑任意两个函数 f ( x ) f(x) f(x)和 g ( x ) g(x) g(x)，它们在 x = a x=a x=a处可导，且 g ( a ) = f ( a ) = 0 g(a)=f(a)=0 g(a)=f(a)=0 ，如何计算 lim ⁡ x → a f ( x ) g ( x ) \displaystyle{\lim_{x \to a}}\frac{f(x)}{g(x)} x→alim​g(x)f(x)​的值？ 因为 g ( a ) = f ( a ) = 0 g(a)=f(a)=0 g(a)=f(a)=0 ，所以并不能直接计算 f ( a ) g ( a ) \frac{f(a)}{g(a)} g(a)f(a)​的值。因此，我们要求 x x x逼近于 a a a时的极限值。 两个函数在 x = a x=a x=a处都可导，意味着在无限放大之后，他们可以被看作是直线。如下图：

考虑一个到 x = a x=a x=a的距离为 d x dx dx的点，对函数 f ( x ) f(x) f(x)，该点的函数值，非常接近该点的导数值和 d x dx dx的乘积，即 d f d x ( a ) d x \frac{df}{dx}(a)dx dxdf​(a)dx. 同理，对函数 g ( x ) g(x) g(x)，这个值大约是 d g d x ( a ) d x \frac{dg}{dx}(a)dx dxdg​(a)dx.

当 d x dx dx越小的时候， d f d x ( a ) d x \frac{df}{dx}(a)dx dxdf​(a)dx和 d g d x ( a ) d x \frac{dg}{dx}(a)dx dxdg​(a)dx就越接近 x = a x=a x=a的函数值，甚至可以等同于极限的精确值，则有 lim ⁡ x → a f ( x ) g ( x ) = d f d x ( a ) d x d g d x ( a ) d x = d f d x ( a ) d g d x ( a ) \displaystyle{\lim_{x \to a}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\frac{df}{dx}(a)dx}{\frac{dg}{dx}(a)dx}=\frac{\frac{df}{dx}(a)}{\frac{dg}{dx}(a)} x→alim​g(x)f(x)​=dxdg​(a)dxdxdf​(a)dx​=dxdg​(a)dxdf​(a)​ 当要计算 0 0 \frac{0}{0} 00​型函数的极限的时候，可以使用这个技巧，对分子分母分别求导，并代入极限点的取值。 这一技巧就叫做洛必达法则。

回顾一开始对导数的定义： d f d x ( x ) = lim ⁡ h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h \frac{df}{dx}(\textcolor{red}x)=\displaystyle{\lim_{h \to 0}}\frac{f(\textcolor{red}x+h)-f(\textcolor{red}x)}{h} dxdf​(x)=h→0lim​hf(x+h)−f(x)​ 本质上就是计算 0 0 \frac{0}{0} 00​型函数的极限，那是不是就可以使用洛必达法则暴力求解了呢？很遗憾，如果不知道分子的导数，则无法使用洛必达法则。因此，洛必达法则的一个应用前提就是——分子分母都可导。

参考资料： 【官方双语】微积分的本质 - 07 - 极限.